Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.1.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.1.4

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Langkah 1.1.3.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{0} - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2^{2 x} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = 2^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1} \cdot 2^{2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.3.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Langkah 1.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2^{x} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 1.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Langkah 1.3.9

Tambahkan $2^{x} \ln (2)$ dan $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Langkah 1.4

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Hapus faktor persekutuan dari $2^{1 + 2 x}$ dan $2^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Faktorkan $2^{x}$ dari $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Langkah 1.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Faktorkan $2^{x}$ dari $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} (\ln (2))}$

Langkah 1.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Langkah 1.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Langkah 1.4.2.2

Bagilah $2^{1 + x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} 2^{1 + x}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$2^{lim_{x \to 0} 1 + x}$

Langkah 2.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 2.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$2^{1 + lim_{x \to 0} x}$

Langkah 3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$2^{1 + 0}$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$2^{1}$

Langkah 4.2

Evaluasi eksponennya.

$2$