Kalkulus Contoh

$y = 4 x + 5$ , $y = x^{2}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$4 x + 5 = x^{2}$

Langkah 1.2

Selesaikan $4 x + 5 = x^{2}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x + 5 - x^{2} = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $4 x + 5 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Susun kembali pernyataan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1.1

Pindahkan $5$ .

$4 x - x^{2} + 5 = 0$

Langkah 1.2.2.1.1.2

Susun kembali $4 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 4 x + 5 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $4 x$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) + 5 = 0$

Langkah 1.2.2.1.4

Tulis kembali $5$ sebagai $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Langkah 1.2.2.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Langkah 1.2.2.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 4 x - 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 5$ dan jumlahnya $- 4$ .

$- 5, 1 + y = x^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (x - 5) (x + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2}$

Langkah 1.2.4

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 1.2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (x - 5) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 5, - 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $5$ untuk $x$ .

$y = {(5)}^{2}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $5$ ke $x$ dalam $y = {(5)}^{2}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 5^{2}$

Langkah 1.3.2.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 25$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Langkah 1.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 1$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 1}^{5} 4 x + 5 d x - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 1$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - (x^{2}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - x^{2} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{5} 4 x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Langkah 3.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{- 1}^{5} x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Langkah 3.7

Terapkan aturan konstanta.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{5})$

Langkah 3.10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Langkah 3.10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $5$ dan pada $- 1$ .

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Langkah 3.10.2.2

Evaluasi $5 x$ pada $5$ dan pada $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Langkah 3.10.2.3

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $5$ dan pada $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.4.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{25 - 1}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.4

Kurangi $1$ dengan $25$ .

$4 (\frac{24}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.5

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.4.5.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.4.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{12}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.5.2.4

Bagilah $12$ dengan $1$ .

$4 \cdot 12 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.6

Kalikan $4$ dengan $12$ .

$48 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.7

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$48 + 25 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.8

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$48 + 25 + 5 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.9

Tambahkan $25$ dan $5$ .

$48 + 30 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.10

Tambahkan $48$ dan $30$ .

$78 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.11

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Langkah 3.10.2.4.12

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3})$

Langkah 3.10.2.4.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$78 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3})$

Langkah 3.10.2.4.14

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Langkah 3.10.2.4.15

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3})$

Langkah 3.10.2.4.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$78 - \frac{125 + 1}{3}$

Langkah 3.10.2.4.17

Tambahkan $125$ dan $1$ .

$78 - \frac{126}{3}$

Langkah 3.10.2.4.18

Hapus faktor persekutuan dari $126$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.4.18.1

Faktorkan $3$ dari $126$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3}$

Langkah 3.10.2.4.18.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.4.18.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Langkah 3.10.2.4.18.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Langkah 3.10.2.4.18.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$78 - \frac{42}{1}$

Langkah 3.10.2.4.18.2.4

Bagilah $42$ dengan $1$ .

$78 - 1 \cdot 42$

Langkah 3.10.2.4.19

Kalikan $- 1$ dengan $42$ .

$78 - 42$

Langkah 3.10.2.4.20

Kurangi $42$ dengan $78$ .

$36$

Langkah 4