Kalkulus Contoh

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - 3$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$2 x - x^{2} = - 3$

Langkah 1.2

Selesaikan $2 x - x^{2} = - 3$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $2 x - x^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Susun kembali $2 x$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Langkah 1.2.2.1.4

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Langkah 1.2.2.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Langkah 1.2.2.1.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 2 x - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 3, 1 + y = - 3$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0 + y = - 3$

Langkah 1.2.4

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 1.2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (x - 3) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 3, - 1$

Langkah 1.3

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$y = - 3$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

Langkah 2

Susun kembali $2 x$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{3} - 3 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 1$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x - (- 3) d x$

Langkah 4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Langkah 4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Langkah 4.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Langkah 4.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

Langkah 4.10

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Langkah 4.11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $3$ dan pada $- 1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Langkah 4.11.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $3$ dan pada $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

Langkah 4.11.3

Evaluasi $3 x$ pada $3$ dan pada $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.2.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- (9 - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- (9 - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$- (9 + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.7

Untuk menuliskan $9$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.8

Gabungkan $9$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.10.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$- \frac{27 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.10.2

Tambahkan $27$ dan $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.12

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.14

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{8}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.15

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.15.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.15.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{4}{1}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.15.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \cdot 4 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.16

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$- \frac{28}{3} + 8 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.17

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.18

Gabungkan $8$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 28 + 8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.20.1

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$\frac{- 28 + 24}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.20.2

Tambahkan $- 28$ dan $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.22

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Langkah 4.11.4.23

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Langkah 4.11.4.24

Tambahkan $9$ dan $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Langkah 4.11.4.25

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.11.4.26

Gabungkan $12$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.11.4.27

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Langkah 4.11.4.28

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.4.28.1

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Langkah 4.11.4.28.2

Tambahkan $- 4$ dan $36$ .

$\frac{32}{3}$

Langkah 5