Kalkulus Contoh

$y = x^{2} + x$ , $x = 6$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{2} + x = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{2} + x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Langkah 1.2.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Langkah 1.2.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Langkah 1.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0 + y = 0$

Langkah 1.2.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 1.3

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} x^{2} + x d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 1$ dan $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (x^{2} + x) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $x^{2} + x$ dengan $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (x^{2} + x) d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} - x d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - \int_{- 1}^{0} x d x$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Langkah 3.10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Langkah 3.10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $0$ dan pada $- 1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Langkah 3.10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $0$ dan pada $- 1$ .

$- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- (0 - \frac{- 1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- (0 - - \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- (0 + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$- (0 + \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Langkah 3.10.2.3.10

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Langkah 3.10.2.3.11

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Langkah 3.10.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Langkah 3.10.2.3.13

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.10.2.3.14

Untuk menuliskan $- \frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 3.10.2.3.15

Untuk menuliskan $\frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.10.2.3.16

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $6$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.3.16.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.10.2.3.16.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.10.2.3.16.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.10.2.3.16.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Langkah 3.10.2.3.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Langkah 3.10.2.3.18

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$\frac{1}{6}$

Langkah 4

$A r e a = \int_{0}^{6} x^{2} + x d x - \int_{0}^{6} 0 d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x - (0) d x$

Langkah 5.2

Kurangi $0$ dengan $x^{2} + x$ .

$\int_{0}^{6} x^{2} + x d x$

Langkah 5.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Langkah 5.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ dan $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Langkah 5.6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ pada $6$ dan pada $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $216$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.3.2.4

Bagilah $72$ dengan $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $36$ .

$72 + \frac{36}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$72 + \frac{18}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.6.2.4

Bagilah $18$ dengan $1$ .

$72 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.7

Tambahkan $72$ dan $18$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.9

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Langkah 5.6.2.2.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Langkah 5.6.2.2.11

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $0$ .

$90 - (0 + 0)$

Langkah 5.6.2.2.12

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$90 - 0$

Langkah 5.6.2.2.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$90 + 0$

Langkah 5.6.2.2.14

Tambahkan $90$ dan $0$ .

$90$

Langkah 6

Jumlahkan luas $\frac{1}{6} + 90$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menuliskan $90$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + 90 \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 6.2

Gabungkan $90$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + \frac{90 \cdot 6}{6}$

Langkah 6.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + 90 \cdot 6}{6}$

Langkah 6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $90$ dengan $6$ .

$\frac{1 + 540}{6}$

Langkah 6.4.2

Tambahkan $1$ dan $540$ .

$\frac{541}{6}$

Langkah 7