Kalkulus Contoh

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\cos (11 x) = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $\cos (11 x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$11 x = \arccos (0)$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $11 x = \frac{π}{2}$ dengan $11$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $11 x = \frac{π}{2}$ dengan $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Langkah 1.2.3.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Langkah 1.2.3.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Langkah 1.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.5.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 1.2.5.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 1.2.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 1.2.5.1.5

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 1.2.5.2

Bagi setiap suku pada $11 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $11$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $11 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Langkah 1.2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Langkah 1.2.5.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Langkah 1.2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Langkah 1.2.5.2.3.2

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Langkah 1.2.5.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Langkah 1.2.6

Tentukan periode dari $\cos (11 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.6.2

Ganti $b$ dengan $11$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Langkah 1.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $11$ adalah $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Langkah 1.2.7

Periode dari fungsi $\cos (11 x)$ adalah $\frac{2 π}{11}$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $\frac{2 π}{11}$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.8

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Substitusikan $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $\frac{π}{22}$ dan $\frac{π}{11}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $\cos (11 x)$ dengan $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Langkah 3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Langkah 3.4

Biarkan $u = 11 x$ . Kemudian $d u = 11 d x$ sehingga $\frac{1}{11} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Biarkan $u = 11 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Diferensialkan $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Langkah 3.4.1.2

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11 x$ terhadap $x$ adalah $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $11$ dengan $1$ .

$11$

Langkah 3.4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $11$ dari $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Langkah 3.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Langkah 3.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Langkah 3.4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Langkah 3.4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Langkah 3.4.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 3.4.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Langkah 3.4.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Langkah 3.5

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Langkah 3.6

Karena $\frac{1}{11}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{11}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Langkah 3.7

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Langkah 3.8

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Langkah 3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Langkah 3.9.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Langkah 3.10.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Langkah 3.10.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Langkah 3.10.3

Kalikan $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Langkah 3.10.3.2

Kalikan $\frac{1}{11}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{11}$

Langkah 4