Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 - 7 x}$ sebagai ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Sederhanakan ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Sederhanakan.

$3 - 7 x = 0^{2}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 - 7 x = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 7 x = - 3$

Langkah 1.2.3.2

Bagi setiap suku pada $- 7 x = - 3$ dengan $- 7$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 7 x = - 3$ dengan $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{3}{7}$

Langkah 1.3

Substitusikan $\frac{3}{7}$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(\frac{3}{7}, 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $\frac{3}{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $0$ dengan $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

Langkah 3.3

Biarkan $u = 3 - 7 x$ . Kemudian $d u = - 7 d x$ sehingga $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Biarkan $u = 3 - 7 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Diferensialkan $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

Langkah 3.3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - 7 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 3.3.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Langkah 3.3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Langkah 3.3.1.3.3

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$0 - 7$

Langkah 3.3.1.4

Kurangi $7$ dengan $0$ .

$- 7$

Langkah 3.3.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 3 - 7 x$ .

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $- 7$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Langkah 3.3.3.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 3.3.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 3 - 7 x$ .

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1.1.1

Faktorkan $7$ dari $- 7$ .

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

Langkah 3.3.5.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

Langkah 3.3.5.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

Langkah 3.3.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Langkah 3.3.5.2

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.3.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

Langkah 3.3.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Langkah 3.4.2

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Langkah 3.6

Karena $\frac{1}{7}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{7}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

Langkah 3.7

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

Langkah 3.9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $0$ dan pada $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Langkah 3.9.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Langkah 3.9.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Langkah 3.9.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Langkah 3.9.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Langkah 3.9.2.5

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

Langkah 3.9.2.6

Gabungkan $3^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Langkah 3.9.2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 3.9.2.8

Pindahkan $3^{1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

Langkah 3.9.2.9

Kalikan $3^{\frac{3}{2}}$ dengan $3^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.9.1

Pindahkan $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

Langkah 3.9.2.9.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

Langkah 3.9.2.9.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Langkah 3.9.2.9.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

Langkah 3.9.2.9.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

Langkah 3.9.2.9.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.9.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

Langkah 3.9.2.9.6.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3.9.2.10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3.9.2.11

Kurangi $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3.9.2.12

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.2.13

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.9.2.14

Gabungkan $\frac{2}{7}$ dan $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

Langkah 4