Kalkulus Contoh

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

Langkah 1.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 12.83601099$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $12.83601099$ untuk $x$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $12.83601099$ ke $x$ dalam $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

Langkah 1.3.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Naikkan $12.83601099$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

Langkah 1.3.2.3.2

Tambahkan $5$ dan $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(12.83601099, 169.76317813)$

Langkah 2

Susun kembali $5$ dan $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 5$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $2$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

Langkah 4.2

Kalikan $- 1$ dengan $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Langkah 4.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Langkah 4.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Langkah 4.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Langkah 4.7

Biarkan $u = 0.4 x$ . Kemudian $d u = 0.4 d x$ sehingga $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Biarkan $u = 0.4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Diferensialkan $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

Langkah 4.7.1.2

Karena $0.4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0.4 x$ terhadap $x$ adalah $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

Langkah 4.7.1.4

Kalikan $0.4$ dengan $1$ .

$0.4$

Langkah 4.7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 0.4 x$ .

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

Langkah 4.7.3

Kalikan $0.4$ dengan $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

Langkah 4.7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 0.4 x$ .

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

Langkah 4.7.5

Kalikan $0.4$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

Langkah 4.7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

Langkah 4.7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

Langkah 4.8

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Langkah 4.9

Karena $\frac{1}{0.4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{0.4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

Langkah 4.10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Langkah 4.11

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ dan $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Langkah 4.12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ pada $3$ dan pada $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Langkah 4.12.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $1.2$ dan pada $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.3.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.5

Tambahkan $9$ dan $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.8

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.9

Untuk menuliskan $10$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.10

Gabungkan $10$ dan $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.3.12.1

Kalikan $10$ dengan $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.12.2

Tambahkan $8$ dan $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.13

Untuk menuliskan $24$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.14

Gabungkan $24$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.16

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.12.3.16.1

Kalikan $24$ dengan $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.16.2

Kurangi $38$ dengan $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Langkah 4.12.3.17

Untuk menuliskan $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 4.12.3.18

Gabungkan $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Langkah 4.12.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Langkah 4.12.3.20

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Langkah 4.12.3.21

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Langkah 4.12.3.22

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Langkah 4.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.13.1.1

Bagilah $3$ dengan $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Langkah 4.13.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Langkah 4.13.1.3

Kalikan $- 7.5$ dengan $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

Langkah 4.13.1.4

Kurangi $8.20931995$ dengan $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

Langkah 4.13.2

Bagilah $25.79068004$ dengan $3$ .

$8.59689334$

Langkah 5