Kalkulus Contoh

$y = x^{2}$ , $y = \sqrt[3]{x}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{2} = \sqrt[3]{x}$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{2} = \sqrt[3]{x}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena akarnya berada pada sisi kanan persamaan, tukar ruasnya sehingga berada pada sisi kiri persamaan.

$\sqrt[3]{x} = x^{2}$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt[3]{x} - x^{2} = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $\sqrt[3]{x} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} - x^{2} = 0$

Langkah 1.2.3.2

Faktorkan $x^{\frac{1}{3}}$ dari $x^{\frac{1}{3}} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x^{2} = 0$

Langkah 1.2.3.2.2

Faktorkan $x^{\frac{1}{3}}$ dari $- x^{2}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Langkah 1.2.3.2.3

Faktorkan $x^{\frac{1}{3}}$ dari $x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{3}} (- x^{\frac{5}{3}})$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$

Langkah 1.2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0 + y = \sqrt[3]{x}$

Langkah 1.2.5

Atur $x^{\frac{1}{3}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x^{\frac{1}{3}}$ sama dengan $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $x^{\frac{1}{3}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $3$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 1.2.5.2.2

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 1.2.5.2.2.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = 0^{3}$

Langkah 1.2.5.2.2.1.1.2

Sederhanakan.

$x = 0^{3}$

Langkah 1.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.6

Atur $1 - x^{\frac{5}{3}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $1 - x^{\frac{5}{3}}$ sama dengan $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$

Langkah 1.2.6.2

Selesaikan $1 - x^{\frac{5}{3}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{\frac{5}{3}} = - 1$

Langkah 1.2.6.2.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $\frac{3}{5}$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1

Sederhanakan ${(- x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x^{\frac{5}{3}}$ .

${(- 1)}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{5}$ .

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.3.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- x^{1} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.1.4

Sederhanakan.

$- x = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.2.1

Sederhanakan ${(- 1)}^{\frac{3}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.2.1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.2.1.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{5}$ .

$- x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Langkah 1.2.6.2.3.2.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Langkah 1.2.6.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- x = {(- 1)}^{5 (\frac{3}{5})}$

Langkah 1.2.6.2.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- x = {(- 1)}^{3}$

Langkah 1.2.6.2.3.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- x = - 1$

Langkah 1.2.6.2.4

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.4.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.4.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x^{\frac{1}{3}} (1 - x^{\frac{5}{3}}) = 0$ benar.

$x = 0, 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = \sqrt[3]{0}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \sqrt[3]{0}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 1.3.2.3

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = \sqrt[3]{1}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \sqrt[3]{1}$

Langkah 1.4.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - (x^{2}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} - x^{2} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Langkah 3.4

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Langkah 3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Langkah 3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Langkah 3.8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Evaluasi $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Langkah 3.8.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.2

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.6

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.7

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 0 (\frac{3}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.8

Kalikan $0$ dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.9

Tambahkan $\frac{3}{4}$ dan $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Langkah 3.8.2.3.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Langkah 3.8.2.3.12

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.12.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Langkah 3.8.2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 3.8.2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Langkah 3.8.2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Langkah 3.8.2.3.12.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} - 0)$

Langkah 3.8.2.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{3} + 0)$

Langkah 3.8.2.3.14

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$

Langkah 3.8.2.3.15

Untuk menuliskan $\frac{3}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 3.8.2.3.16

Untuk menuliskan $- \frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 3.8.2.3.17

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.17.1

Kalikan $\frac{3}{4}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 3.8.2.3.17.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 3.8.2.3.17.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{3 \cdot 4}$

Langkah 3.8.2.3.17.4

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4}{12}$

Langkah 3.8.2.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 \cdot 3 - 4}{12}$

Langkah 3.8.2.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.19.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{9 - 4}{12}$

Langkah 3.8.2.3.19.2

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$\frac{5}{12}$

Langkah 4