Kalkulus Contoh

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Hilangkan eksponen pecahan dengan mengalikan kedua eksponen tersebut dengan penyebut sekutu terkecil.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Langkah 1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Langkah 1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Langkah 1.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Langkah 1.2.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Langkah 1.2.3.4

Sederhanakan.

$x^{4} = 8 x$

Langkah 1.2.4

Kurangkan $8 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{4} - 8 x = 0$

Langkah 1.2.5

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Langkah 1.2.5.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Langkah 1.2.5.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ .

$x (x^{3} - 8) = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Langkah 1.2.5.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Langkah 1.2.5.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.4.1.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Langkah 1.2.5.4.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Langkah 1.2.5.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Langkah 1.2.6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.2.7

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.8

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.8.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 1.2.9

Atur $x^{2} + 2 x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Atur $x^{2} + 2 x + 4$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Langkah 1.2.9.2

Selesaikan $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.2.9.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 2$ , dan $c = 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.2.9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.3.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 1.2.9.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.9.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.4.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.4.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 1.2.9.2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.9.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.9.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.3

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.4

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (12)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.7

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.2.5.1.7.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.7.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.9.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 1.2.9.2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.9.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.9.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.10

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ benar.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $0$ ke $x$ dalam $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.3.2.2

Sederhanakan $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.3.2.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Langkah 1.3.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Langkah 1.3.2.2.3

Evaluasi eksponennya.

$y = 2 \cdot 0$

Langkah 1.3.2.2.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.4.2

Substitusikan $2$ ke $x$ dalam $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $2^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Langkah 1.4.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Langkah 1.4.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Langkah 1.4.2.2.4

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Langkah 1.5

Substitusikan $- 1 + i \sqrt{3}$ untuk $x$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.6

Substitusikan $- 1 - i \sqrt{3}$ untuk $x$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.7

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Langkah 2

Daerah di antara kurva yang diberikan tidak terbatas.

Daerah tak terbatas

Langkah 3