Kalkulus Contoh

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = 4 x$ dan $g (x) = x^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Langkah 4

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $16$ keluar dari integral.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Langkah 9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Langkah 9.2.2

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.5

Tambahkan $\frac{64}{3}$ dan $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.6

Gabungkan $16$ dan $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.7

Kalikan $16$ dengan $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Langkah 9.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Langkah 9.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Langkah 9.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Langkah 9.2.3.12

Tambahkan $\frac{1024}{5}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Langkah 9.2.3.13

Untuk menuliskan $\frac{1024}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Langkah 9.2.3.14

Untuk menuliskan $- \frac{1024}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 9.2.3.15

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.15.1

Kalikan $\frac{1024}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 9.2.3.15.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 9.2.3.15.3

Kalikan $\frac{1024}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Langkah 9.2.3.15.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Langkah 9.2.3.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Langkah 9.2.3.17

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.17.1

Kalikan $1024$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Langkah 9.2.3.17.2

Kalikan $- 1024$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Langkah 9.2.3.17.3

Kurangi $3072$ dengan $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Langkah 9.2.3.18

Gabungkan $π$ dan $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Langkah 9.2.3.19

Pindahkan $2048$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{2048 π}{15}$

Bentuk Desimal:

$V = 428.93211697 \dots$

Langkah 11