Kalkulus Contoh

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (y)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ di mana $f (y) = 2 y$ dan $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Langkah 2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Langkah 2.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 2.4

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Langkah 2.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Langkah 4

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{4}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Langkah 10.1.2

Gabungkan $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Langkah 10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Evaluasi $\frac{y^{3}}{3}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Langkah 10.2.2

Evaluasi $\frac{y^{5}}{5}$ pada $4$ dan pada $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.5

Tambahkan $\frac{64}{3}$ dan $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.6

Gabungkan $4$ dan $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.7

Kalikan $4$ dengan $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.10.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.10.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Langkah 10.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Langkah 10.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Langkah 10.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Langkah 10.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Langkah 10.2.3.12

Tambahkan $\frac{1024}{5}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Langkah 10.2.3.13

Tulis kembali $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ sebagai hasil kali.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Langkah 10.2.3.14

Kalikan $\frac{1024}{5}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Langkah 10.2.3.15

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Langkah 10.2.3.16

Hapus faktor persekutuan dari $1024$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.16.1

Faktorkan $4$ dari $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Langkah 10.2.3.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.16.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Langkah 10.2.3.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Langkah 10.2.3.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Langkah 10.2.3.17

Untuk menuliskan $\frac{256}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Langkah 10.2.3.18

Untuk menuliskan $- \frac{256}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 10.2.3.19

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.19.1

Kalikan $\frac{256}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 10.2.3.19.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 10.2.3.19.3

Kalikan $\frac{256}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Langkah 10.2.3.19.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Langkah 10.2.3.20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Langkah 10.2.3.21

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.21.1

Kalikan $256$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Langkah 10.2.3.21.2

Kalikan $- 256$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Langkah 10.2.3.21.3

Kurangi $768$ dengan $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Langkah 10.2.3.22

Gabungkan $π$ dan $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Langkah 10.2.3.23

Pindahkan $512$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{512 π}{15}$

Bentuk Desimal:

$V = 107.23302924 \dots$

Langkah 12