Kalkulus Contoh

$y = x - 1$ , $y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = 3$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$

Langkah 1.2

Selesaikan $x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} - 4 x + 3 - x = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.2.2

Kurangi $x$ dengan $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} - 5 x + 3 + 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.4

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.5

Faktorkan $x^{2} - 5 x + 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $4$ dan jumlahnya $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.7

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.7.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.8

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.8.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.2.9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 4) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3 y = 3$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $4$ ke $x$ dalam $y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Langkah 1.3.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Langkah 1.3.2.3

Sederhanakan ${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$y = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Langkah 1.3.2.3.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$y = 16 - 16 + 3$

Langkah 1.3.2.3.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.3.2.1

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$y = 0 + 3$

Langkah 1.3.2.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$y = 3$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3 y = 3$

Langkah 1.4.2

Substitusikan $1$ ke $x$ dalam $y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Langkah 1.4.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Langkah 1.4.2.3

Sederhanakan ${(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Langkah 1.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = 1 - 4 + 3$

Langkah 1.4.2.3.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.3.2.1

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$y = - 3 + 3$

Langkah 1.4.2.3.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $3$ .

$y = 0$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(4, 3)$

$(1, 0)$

$(4, 3)$

$(1, 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{1}^{4} x - 1 d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{4} x - 1 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$x - 1 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

Langkah 3.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{1}^{4} x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

Langkah 3.3

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $x$ dan $4 x$ .

$5 x - 1 - x^{2} - 3$

Langkah 3.3.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$5 x - x^{2} - 4$

$\int_{1}^{4} 5 x - x^{2} - 4 d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Langkah 3.5

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Langkah 3.10

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Langkah 3.11

Terapkan aturan konstanta.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Langkah 3.12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$5 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Langkah 3.12.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Langkah 3.12.3

Evaluasi $- 4 x$ pada $4$ dan pada $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $16$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.2.2.4

Bagilah $8$ dengan $1$ .

$5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$5 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.4

Untuk menuliskan $8$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.5

Gabungkan $8$ dan $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.7.1

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$5 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.7.2

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$5 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.8

Gabungkan $5$ dan $\frac{15}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.9

Kalikan $5$ dengan $15$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.10

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{75}{2} - \frac{64 - 1}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.13

Kurangi $1$ dengan $64$ .

$\frac{75}{2} - \frac{63}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.14

Hapus faktor persekutuan dari $63$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.14.1

Faktorkan $3$ dari $63$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.14.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{75}{2} - \frac{21}{1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.14.2.4

Bagilah $21$ dengan $1$ .

$\frac{75}{2} - 1 \cdot 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.15

Kalikan $- 1$ dengan $21$ .

$\frac{75}{2} - 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.16

Untuk menuliskan $- 21$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} - 21 \cdot \frac{2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.17

Gabungkan $- 21$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{75 - 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.19.1

Kalikan $- 21$ dengan $2$ .

$\frac{75 - 42}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.19.2

Kurangi $42$ dengan $75$ .

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.20

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

Langkah 3.12.4.21

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

Langkah 3.12.4.22

Tambahkan $- 16$ dan $4$ .

$\frac{33}{2} - 12$

Langkah 3.12.4.23

Untuk menuliskan $- 12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 3.12.4.24

Gabungkan $- 12$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.12.4.25

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

Langkah 3.12.4.26

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.4.26.1

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$\frac{33 - 24}{2}$

Langkah 3.12.4.26.2

Kurangi $24$ dengan $33$ .

$\frac{9}{2}$

Langkah 4