Kalkulus Contoh

$2 x^{2} + y^{2} = 17$ , $(- 2, 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 2$ dan $y = 3$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Langkah 1.2.4

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 4 x$

Langkah 1.3

Karena $17$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $17$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 4 x = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' = - 4 x$

Langkah 1.5.2

Bagi setiap suku pada $2 y y' = - 4 x$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = - 4 x$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Langkah 1.5.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Langkah 1.5.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = - 2$ dan $y = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (- 2)}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{2 (- 2)}{3}$

Langkah 1.7.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- \frac{- 4}{3}$

Langkah 1.7.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{4}{3}$

Langkah 1.7.5

Kalikan $- - \frac{4}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{4}{3})$

Langkah 1.7.5.2

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{4}{3}$ dan titik yang diberikan $(- 2, 3)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 3 = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{4}{3} \cdot (x + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 3 = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 3 = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $2$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 3 \cdot 3}{3}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 9}{3}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $8$ dan $9$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{17}{3}$

Langkah 3