Kalkulus Contoh

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 16$ dan $y = 4$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

Langkah 1.2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 1.3.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 1.3.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 1.3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 1.3.3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 1.3.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 1.3.3.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 1.3.3.9

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.4

Karena $28$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $28$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 1.6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ ke kedua sisi persamaan.

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.6.2

Bagi setiap suku pada $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $4 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.1

Bagilah setiap suku di $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Langkah 1.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Langkah 1.6.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Langkah 1.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Langkah 1.6.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Langkah 1.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Langkah 1.6.2.3.2

Gabungkan.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

Langkah 1.6.2.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.2.3.3.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

Langkah 1.6.2.3.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

Langkah 1.6.2.3.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8

Evaluasi pada $x = 16$ dan $y = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Ganti variabel $x$ dengan $16$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.2

Ganti variabel $y$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Kalikan $8$ dengan $4$ .

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.2

Tulis kembali $32$ sebagai $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.3

Tulis kembali $16$ sebagai $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.4

Kalikan eksponen dalam ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 1.8.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.8.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

Langkah 1.8.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

Langkah 1.8.3.6

Tambahkan $5$ dan $2$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Langkah 1.8.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $7$ .

$\frac{1}{128}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{1}{128}$ dan titik yang diberikan $(16, 4)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{128}$ dan $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Faktorkan $16$ dari $128$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Langkah 2.3.1.5.2

Faktorkan $16$ dari $- 16$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.6

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $- 1$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Langkah 2.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $32$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

Langkah 3