Kalkulus Contoh

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x y^{3} + 5 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y^{3}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.2.7

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x y$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 1.2.3.2

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 1.2.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

Langkah 1.2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

Langkah 1.2.4.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

Langkah 1.2.4.4

Susun kembali suku-suku.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

Langkah 1.3

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $4 y^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

Langkah 1.5.1.2

Kurangkan $5 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $x y'$ dari $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $x y'$ dari $12 y^{2} x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $x y'$ dari $5 x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $x y'$ dari $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ .

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ dengan $x (12 y^{2} + 5)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ dengan $x (12 y^{2} + 5)$ .

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $12 y^{2} + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 4$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Langkah 1.7.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Langkah 1.7.3.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Langkah 1.7.3.2.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Langkah 1.7.3.3

Kurangi $5$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

Langkah 1.7.4.3

Tambahkan $12$ dan $5$ .

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $4$ dengan $17$ .

$\frac{- 9}{68}$

Langkah 1.7.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{9}{68}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{9}{68}$ dan titik yang diberikan $(4, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{9}{68}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{9}{68}$ ke dalam pembilangnya.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3.2

Faktorkan $4$ dari $68$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.2.3.3

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

Langkah 2.3.1.2.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.2.4

Gabungkan $\frac{- 9}{17}$ dan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

Langkah 2.3.1.2.5

Kalikan $- 9$ dengan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

Langkah 2.3.2.4

Tambahkan $9$ dan $17$ .

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

Langkah 3