Kalkulus Contoh

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 0$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{y} + y e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.2.5

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Susun kembali suku-suku.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

Langkah 1.2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

Langkah 1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

Langkah 1.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Kurangkan $y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

Langkah 1.5.2.2

Kurangkan $e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y'$ dari $x y' e^{y} + y' e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ .

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ dengan $x e^{y} + e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ dengan $x e^{y} + e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x e^{y} + e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y e^{x}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (y e^{x}) - (e^{y})$ .

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.5.1

Tulis kembali $- (y e^{x} + e^{y})$ sebagai $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ .

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.5.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 0$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $e^{0}$ dengan $1$ .

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Langkah 1.7.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Langkah 1.7.3.3

Sederhanakan.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Sederhanakan.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $0$ dengan $e$ .

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

Langkah 1.7.4.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

Langkah 1.7.4.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- \frac{1 + e}{1}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Bagilah $1 + e$ dengan $1$ .

$- (1 + e)$

Langkah 1.7.5.2

Terapkan sifat distributif.

$- 1 \cdot 1 - e$

Langkah 1.7.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 - e$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 1 - e$ dan titik yang diberikan $(0, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

Langkah 2.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - 1 x - e x$

Langkah 2.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y - 1 = - x - e x$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - x - e x + 1$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Pindahkan $e$ .

$y = - x - 1 x e + 1$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = - x - x e + 1$

Langkah 2.3.3.3

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

Langkah 2.3.3.4

Faktorkan $x$ dari $- x e$ .

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

Langkah 2.3.3.5

Faktorkan $x$ dari $x \cdot - 1 + x (- e)$ .

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

Langkah 2.3.3.6

Kalikan $- 1 - e$ dengan $x$ .

$y = (- 1 - e) x + 1$

Langkah 3