Kalkulus Contoh

$y^{2} = 5 x^{4} - x^{2}$ , $(- 1, 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = - 1$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - x^{2})$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{4} - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.3.2.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$20 x^{3} - (2 x)$

Langkah 1.3.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$20 x^{3} - 2 x$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku pada $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $20 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Langkah 1.5.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- x}{y}$

Langkah 1.5.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = - 1$ dan $y = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{10 {(- 1)}^{3}}{y} - \frac{- 1}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{10 {(- 1)}^{3}}{2} - \frac{- 1}{2}$

Langkah 1.7.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{10 {(- 1)}^{3} + 1}{2}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{10 \cdot - 1 + 1}{2}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 10 + 1}{2}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Tambahkan $- 10$ dan $1$ .

$\frac{- 9}{2}$

Langkah 1.7.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{9}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{9}{2}$ dan titik yang diberikan $(- 1, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = - \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{9}{2}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1$

Langkah 2.3.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2}$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $x$ .

$y - 2 = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 9 + 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{2}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 9$ dan $4$ .

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{5}{2}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{9}{2} x) - \frac{5}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$

Langkah 3