Kalkulus Contoh

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ , $(1, 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 2$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 3 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Langkah 1.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku pada $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 1.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Langkah 1.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Langkah 1.5.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 y} + \frac{3 (1)}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3 (1)}{2}$

Langkah 1.7.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3 {(1)}^{2}}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3 \cdot 1}{2 (2)} + \frac{3}{2}$

Langkah 1.7.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{3}{2}$

Langkah 1.7.4.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2}$

Langkah 1.7.5

Untuk menuliskan $\frac{3}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 1.7.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.6.1

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.7.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Langkah 1.7.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 + 3 \cdot 2}{4}$

Langkah 1.7.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.8.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3 + 6}{4}$

Langkah 1.7.8.2

Tambahkan $3$ dan $6$ .

$\frac{9}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{9}{4}$ dan titik yang diberikan $(1, 2)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{9}{4} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{9}{4} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 2 = \frac{9}{4} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 2 = \frac{9}{4} x + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{9}{4}$ dan $x$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9}{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{9}{4} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{9}{4}$ dan $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$y - 2 = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 2 = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2$

Langkah 2.3.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}$

Langkah 2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 9 + 8}{4}$

Langkah 2.3.2.5.2

Tambahkan $- 9$ dan $8$ .

$y = \frac{9 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{9 x}{4} - \frac{1}{4}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{9}{4} x - \frac{1}{4}$

Langkah 3