Kalkulus Contoh

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 8$ , $(4, 0)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 0$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y) = \frac{d}{d x} (8)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.4.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 y'$

Langkah 1.2.5

Susun kembali suku-suku.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2$

Langkah 1.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2 = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y y' + 4 y' - 2 = - 2 x$

Langkah 1.5.1.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y y' + 4 y' = - 2 x + 2$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y' + 4 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 2 x + 2$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $2 y'$ dari $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 2 x + 2$

Langkah 1.5.2.3

Faktorkan $2 y'$ dari $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$

Langkah 1.5.3

Bagi setiap suku pada $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ dengan $2 (y + 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ dengan $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Langkah 1.5.3.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{1}{y + 2}$

Langkah 1.5.3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- x + 1}{y + 2}$

Langkah 1.5.3.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 1}{y + 2}$

Langkah 1.5.3.3.2.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y + 2}$

Langkah 1.5.3.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x - 1)}{y + 2}$

Langkah 1.5.3.3.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.3.2.5.1

Tulis kembali $- (x - 1)$ sebagai $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y + 2}$

Langkah 1.5.3.3.2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 4$ dan $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{(4) - 1}{y + 2}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{(4) - 1}{(0) + 2}$

Langkah 1.7.3

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$- \frac{3}{0 + 2}$

Langkah 1.7.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{3}{2}$ dan titik yang diberikan $(4, 0)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y + 0 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Langkah 2.3.2.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Langkah 2.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Langkah 2.3.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 6$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{2} x + 6$

Langkah 3