Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 16$ , $(4, 8)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 4$ dan $y = 8$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (16)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Langkah 1.2.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Langkah 1.2.2.4

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Langkah 1.2.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Langkah 1.2.2.5.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{2}}{8}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y y')$

Langkah 1.2.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{8}$ .

$x + \frac{2}{8} (y y')$

Langkah 1.2.3.5

Gabungkan $y$ dan $\frac{2}{8}$ .

$x + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

Langkah 1.2.3.6

Gabungkan $\frac{y \cdot 2}{8}$ dan $y'$ .

$x + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

Langkah 1.2.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$x + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

Langkah 1.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $2 y y'$ .

$x + \frac{2 (y y')}{8}$

Langkah 1.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x + \frac{y y'}{4}$

Langkah 1.3

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x + \frac{y y'}{4} = 0$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y y'}{4} = - x$

Langkah 1.5.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Langkah 1.5.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

Langkah 1.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y y' = 4 (- x)$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y y' = - 4 x$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y y' = - 4 x$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y y' = - 4 x$ dengan $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 4$ dan $y = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{4 (4)}{y}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{4 (4)}{8}$

Langkah 1.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.7.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{4}{2}$

Langkah 1.7.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2}$

Langkah 1.7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Langkah 1.7.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{1}$

Langkah 1.7.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Langkah 1.7.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 2$ dan titik yang diberikan $(4, 8)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 2 \cdot (x - (4))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 2 \cdot (x - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 8 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 8 = - 2 x - 2 \cdot - 4$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y - 8 = - 2 x + 8$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 2 x + 8 + 8$

Langkah 2.3.2.2

Tambahkan $8$ dan $8$ .

$y = - 2 x + 16$

Langkah 3