Kalkulus Contoh

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = π$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\cos (y) y'$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{4} - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.3.2.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Langkah 1.3.3.2

Tambahkan $20 x^{3}$ dan $0$ .

$20 x^{3}$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku pada $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ dengan $\cos (y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Bagilah setiap suku di $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ dengan $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Langkah 1.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

Langkah 1.7.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

Langkah 1.7.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.4.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

Langkah 1.7.4.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

Langkah 1.7.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

Langkah 1.7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.5.1

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$\frac{20}{- 1}$

Langkah 1.7.5.2

Bagilah $20$ dengan $- 1$ .

$- 20$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- 20$ dan titik yang diberikan $(1, π)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- 20 \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $- 20$ dengan $- 1$ .

$y - π = - 20 x + 20$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - 20 x + 20 + π$

Langkah 3