Kalkulus Contoh

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 1$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali sisi kirinya dengan eksponen rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Langkah 1.1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{y^{4}}$ sebagai $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Langkah 1.2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.2.5.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Langkah 1.3.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Langkah 1.3.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Langkah 1.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Langkah 1.3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Langkah 1.3.3.6.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Langkah 1.3.3.7

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Langkah 1.3.3.8

Gabungkan $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ dan $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Langkah 1.3.4.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Langkah 1.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 1.5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Langkah 1.6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Langkah 1.6.2

Kurangkan $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.6.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 1.6.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1.1

Sederhanakan $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.1.1.1

Gabungkan.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 1.6.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 1.6.4.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 1.6.4.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 1.6.4.1.1.5

Bagilah $y' y^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 1.6.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.2.1

Sederhanakan $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.4.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ke dalam pembilangnya.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.6.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.6.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.6.4.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.6.4.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.6.5

Bagi setiap suku pada $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ dengan $y^{\frac{1}{3}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.5.1

Bagilah setiap suku di $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ dengan $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.6.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.6.5.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.6.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.6.5.3.2

Kalikan $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ dengan $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Langkah 1.6.5.3.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.8

Evaluasi pada $x = 1$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.8.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 1.8.3

Kalikan ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ dengan ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.3.1

Pindahkan ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 1.8.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Langkah 1.8.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Langkah 1.8.3.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 1.8.3.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Langkah 1.8.4

Sederhanakan $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $- \frac{1}{4}$ dan titik yang diberikan $(1, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Langkah 2.3.2.4

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Langkah 2.3.3

Tulis dalam bentuk $y = m x + b$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Langkah 2.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Langkah 3