Kalkulus Contoh

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Langkah 1

Tentukan domain untuk $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ sehingga daftar nilai $x$ dapat diambil untuk mancari daftar titik, yang akan membantu membuat grafik akarnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur argumen dalam $\ln (\sqrt{x + 1})$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 1}$ sebagai ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Sederhanakan ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x + 1 > 0^{2}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x + 1 > 0$

Langkah 1.2.3

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x > - 1$

Langkah 1.2.4

Tentukan domain dari $\sqrt{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x + 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x + 1 \geq 0$

Langkah 1.2.4.2

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq - 1$

Langkah 1.2.4.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- 1, \infty)$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x > - 1$

Langkah 1.3

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x + 1}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x + 1 \geq 0$

Langkah 1.4

Kurangkan $1$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq - 1$

Langkah 1.5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > - 1}$

Notasi Interval:

$(- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > - 1}$

Langkah 2

Untuk menentukan titik akhir pernyataan akarnya, substitusikan nilai $x$ $- 1$ , yang merupakan nilai terkecil dalam domain tersebut, ke dalam $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Langkah 2.2

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Langkah 2.3

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Langkah 2.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 1) = \ln (0)$

Langkah 2.5

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

$f (- 1) = Undefined$

Tidak terdefinisi

Langkah 3

Titik akhir pernyataan akarnya adalah $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Langkah 4

Pilih beberapa nilai $x$ dari domain. Ini akan lebih berguna untuk memilih nilai-nilainya sehingga berada di sebelah nilai $x$ dari titik akhir pernyataan bentuk akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai $x$ $0$ ke dalam $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(0, 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Langkah 4.1.2.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Langkah 4.1.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai $x$ $1$ ke dalam $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Dalam hal ini, titiknya adalah $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Langkah 4.2.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Langkah 4.3

Akar kuadrat dapat digambarkan dengan grafik menggunakan titik-titik di sekitar verteks $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Langkah 5