Kalkulus Contoh

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Langkah 1

Tentukan asimtot.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 1.2

Karena $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kiri dan $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $0$ dari kanan, maka $x = 0$ adalah asimtot tegak.

$x = 0$

Langkah 1.3

Dengan mengabaikan logaritma, pertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ adalah pangkat dari pembilang dan $m$ adalah pangkat dari penyebut.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 1.4

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Langkah 1.5

Karena $n = m$ , asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ di mana $a = 64$ dan $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Langkah 1.6

Tidak ada asimtot miring yang ditunjukkan untuk fungsi logaritma dan trigonometri.

Tidak Ada Asimtot Miring

Langkah 1.7

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = 0$

Asimtot Datar: $y = \frac{64}{3}$

Asimtot Tegak: $x = 0$

Asimtot Datar: $y = \frac{64}{3}$

Langkah 2

Tentukan titik pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Langkah 2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Langkah 2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Langkah 2.2.4

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Langkah 2.2.5

Kalikan $125$ dengan $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Langkah 2.2.6

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $0$ .

$f (1) = 0$

Langkah 2.2.7

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 2.3

Konversikan $0$ ke desimal.

$y = 0$

Langkah 3

Tentukan titik pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Langkah 3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Langkah 3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Langkah 3.2.4.2

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Langkah 3.2.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Langkah 3.2.6

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Langkah 3.2.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Langkah 3.2.8

Sederhanakan $\frac{729}{8} \ln (2)$ dengan memindahkan $\frac{729}{8}$ ke dalam logaritma.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Langkah 3.2.9

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 3.2.10

Kalikan eksponen dalam ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Langkah 3.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Langkah 3.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Langkah 3.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Langkah 3.2.11

Jawaban akhirnya adalah $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Langkah 3.3

Konversikan $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ ke desimal.

$y = 21.0543456$

Langkah 4

Tentukan titik pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Langkah 4.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Langkah 4.2.4.2

Tambahkan $12$ dan $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Langkah 4.2.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Langkah 4.2.6

Naikkan $13$ menjadi pangkat $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Langkah 4.2.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Langkah 4.2.8

Sederhanakan $\frac{2197}{27} \ln (3)$ dengan memindahkan $\frac{2197}{27}$ ke dalam logaritma.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Langkah 4.2.9

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 4.2.10

Kalikan eksponen dalam ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.10.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Langkah 4.2.10.2

Kalikan $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.10.2.1

Kalikan $\frac{2197}{27}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Langkah 4.2.10.2.2

Kalikan $27$ dengan $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Langkah 4.2.11

Jawaban akhirnya adalah $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Langkah 4.3

Konversikan $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ ke desimal.

$y = 29.79816294$

Langkah 5

Fungsi logaritma dapat digambarkan menggunakan asismtot tegak pada $x = 0$ dan titik-titik $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Asimtot Tegak: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Langkah 6