Kalkulus Contoh

${(2 x - y)}^{2} - 3 y = 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} ({(2 x - y)}^{2} - 3 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(2 x - y)}^{2}$ sebagai $(2 x - y) (2 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - y) (2 x - y) - 3 y]$

Langkah 2.2

Perluas $(2 x - y) (2 x - y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x - y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 3 y]$

Langkah 2.3.1.9

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.9.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 3 y]$

Langkah 2.3.1.9.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 3 y]$

Langkah 2.3.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + 1 y^{2} - 3 y]$

Langkah 2.3.1.11

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + y^{2} - 3 y]$

Langkah 2.3.2

Kurangi $2 y x$ dengan $- 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2} - 3 y]$

Langkah 2.3.2.2

Kurangi $2 x y$ dengan $- 2 x y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y]$

Langkah 2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.5.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x y$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$8 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.6.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.6.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.7.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.7.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.7.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Langkah 2.8

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.8.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 y'$

Langkah 2.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Terapkan sifat distributif.

$8 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Langkah 2.9.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$8 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Langkah 2.9.3

Susun kembali suku-suku.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y'$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $8 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y - 3 y' = - 8 x$

Langkah 5.1.2

Tambahkan $4 y$ ke kedua sisi persamaan.

$- 4 x y' + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $- 4 x y' + 2 y y' - 3 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $- 4 x y'$ .

$y' (- 4 x) + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $- 3 y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Langkah 5.2.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 4 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Langkah 5.2.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ dengan $- 4 x + 2 y - 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ dengan $- 4 x + 2 y - 3$ .

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4 x + 2 y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 8 x + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $4$ dari $- 8 x + 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 8 x$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.2.2

Faktorkan $4$ dari $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 (y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.2.3

Faktorkan $4$ dari $4 (- 2 x) + 4 (y)$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $y$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) - 1 (- y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.6

Tulis kembali $- (2 x - y)$ sebagai $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) + 2 y - 3}$

Langkah 5.3.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $2 y$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) - (- 2 y) - 3}$

Langkah 5.3.3.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 3}$

Langkah 5.3.3.10

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 1 (3)}$

Langkah 5.3.3.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (4 x - 2 y) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y + 3)}$

Langkah 5.3.3.12

Tulis kembali $- (4 x - 2 y + 3)$ sebagai $- 1 (4 x - 2 y + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Langkah 5.3.3.13

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Langkah 5.3.3.14

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$