Kalkulus Contoh

2 ln (2 x) + ln (16 x) = 0

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

2 ln (2 x) + ln (16 x) = 0

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan

2 ln (2 x) + ln (16 x)

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Sederhanakan

2 ln (2 x)

$2 \ln (2 x)$ dengan memindahkan

2

$2$ ke dalam logaritma.

ln ({(2 x)}^{2}) + ln (16 x) = 0

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Langkah 2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke

2 x

$2 x$ .

ln (2^{2} x^{2}) + ln (16 x) = 0

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Langkah 2.1.1.3

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

ln (4 x^{2}) + ln (16 x) = 0

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

ln (4 x^{2}) + ln (16 x) = 0

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

Langkah 2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma,

{log}_{b} (x) + {log}_{b} (y) = {log}_{b} (x y)

$\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

ln (4 x^{2} (16 x)) = 0

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

Langkah 2.1.4

Kalikan

x^{2}

$x^{2}$ dengan

x

$x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Pindahkan

x

$x$ .

ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

Langkah 2.1.4.2

Kalikan

x

$x$ dengan

x^{2}

$x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Naikkan

x

$x$ menjadi pangkat

1

$1$ .

ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

Langkah 2.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

Langkah 2.1.4.3

Tambahkan

1

$1$ dan

2

$2$ .

ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

Langkah 2.1.5

Kalikan

4

$4$ dengan

16

$16$ .

ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$

ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$

ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$

Langkah 3

Untuk menyelesaikan

x

$x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

e^{ln (64 x^{3})} = e^{0}

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

Langkah 4

Tulis kembali

ln (64 x^{3}) = 0

$\ln (64 x^{3}) = 0$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika

x

$x$ dan

b

$b$ adalah bilangan riil positif dan

b \neq 1

$b \neq 1$ , maka

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ setara dengan

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{0} = 64 x^{3}

$e^{0} = 64 x^{3}$

Langkah 5

Selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai

64 x^{3} = e^{0}

$64 x^{3} = e^{0}$ .

64 x^{3} = e^{0}

$64 x^{3} = e^{0}$

Langkah 5.2

Kurangkan

e^{0}

$e^{0}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

64 x^{3} - e^{0} = 0

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Apa pun yang dinaikkan ke

0

$0$ adalah

1

$1$ .

64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Langkah 5.3.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

64 x^{3} - 1 = 0

$64 x^{3} - 1 = 0$

64 x^{3} - 1 = 0

$64 x^{3} - 1 = 0$

Langkah 5.4

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali

64 x^{3}

$64 x^{3}$ sebagai

{(4 x)}^{3}

${(4 x)}^{3}$ .

{(4 x)}^{3} - 1 = 0

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali

$1$ sebagai

$1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Langkah 5.4.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga.

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana

$a = 4 x$ dan

$b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 5.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke

$4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 5.4.4.2

Naikkan

$4$ menjadi pangkat

$2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Langkah 5.4.4.3

Kalikan

$4$ dengan

$1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Langkah 5.4.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Langkah 5.5

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan

$0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan

$0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Langkah 5.6

Atur

$4 x - 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Atur

$4 x - 1$ sama dengan

$0$ .

$4 x - 1 = 0$

Langkah 5.6.2

Selesaikan

$4 x - 1 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Tambahkan

$1$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x = 1$

Langkah 5.6.2.2

Bagi setiap suku pada

$4 x = 1$ dengan

$4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Bagilah setiap suku di

$4 x = 1$ dengan

$4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.6.2.2.2.1.2

Bagilah

$x$ dengan

$1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Langkah 5.7

Atur

$16 x^{2} + 4 x + 1$ agar sama dengan

$0$ dan selesaikan

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Atur

$16 x^{2} + 4 x + 1$ sama dengan

$0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Langkah 5.7.2

Selesaikan

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ untuk

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 5.7.2.2

Substitusikan nilai-nilai

$a = 16$ ,

$b = 4$ , dan

$c = 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

$x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.3.1.1

Naikkan

$4$ menjadi pangkat

$2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.3.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.2.2

Kalikan

$- 64$ dengan

$1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.3

Kurangi

$64$ dengan

$16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.4

Tulis kembali

$- 48$ sebagai

$- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.5

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (48)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.6

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.7

Tulis kembali

$48$ sebagai

$4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.3.1.7.1

Faktorkan

$16$ dari

$48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.7.2

Tulis kembali

$16$ sebagai

$4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.1.9

Pindahkan

$4$ ke sebelah kiri

$i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Langkah 5.7.2.3.2

Kalikan

$2$ dengan

$16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Langkah 5.7.2.3.3

Sederhanakan

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 5.7.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Langkah 5.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$