Kalkulus Contoh

$2 \cos (3 x) + 1 = \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

Langkah 1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $\cos (2 x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) = 2 \cos (x)$

Langkah 1.2

Kurangkan $2 \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan identitas sudut tiga untuk mengubah $\cos (3 x)$ menjadi $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.5

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.6

Terapkan sifat distributif.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $2 \cos (x)$ dengan $- 6 \cos (x)$ .

$8 \cos^{3} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 8 \cos (x) = 0$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Langkah 3

Faktorkan $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2$ dari $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $2$ dari $8 \cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - 8 \cos (x) = 0$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $2$ dari $- 8 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Langkah 3.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Langkah 3.1.6

Faktorkan $2$ dari $2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

Langkah 3.1.7

Faktorkan $2$ dari $2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)) = 0$

Langkah 3.2

Susun kembali suku-suku.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

Langkah 3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos (x) - 1) - (4 \cos (x) - 1)) = 0$

Langkah 3.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $4 \cos (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Langkah 3.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Langkah 3.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \cos (x)$ dan $b = 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Langkah 3.6.1.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Langkah 3.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 5

Atur $4 \cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $4 \cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $4 \cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$4 \cos (x) = 1$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada $4 \cos (x) = 1$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 \cos (x) = 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Evaluasi $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Langkah 5.2.5

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Langkah 5.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Langkah 5.2.6.2

Sederhanakan $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Langkah 5.2.6.2.2

Kurangi $1.31811607$ dengan $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Langkah 5.2.7

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 5.2.8

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Atur $\cos (x) + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (x) + 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (x) + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\cos (x) = - 1$

Langkah 6.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$x = π$

Langkah 6.2.4

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - π$

Langkah 6.2.5

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 6.2.6

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.2.7

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Atur $\cos (x) - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $\cos (x) - 1$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $\cos (x) - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 7.2.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7.2.4

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 7.2.5

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 7.2.6

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 7.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 7.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 7.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 7.2.7

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ benar.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9

Gabungkan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $π + 2 π n$ dan $2 π n$ menjadi $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 9.2

Gabungkan $π n$ dan $2 π + 2 π n$ menjadi $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$