Kalkulus Contoh

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{3}{2}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Tulis kembali $8 x^{3}$ sebagai ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.1.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = 2 x$ dan $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.1.4.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.1.4.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.1.4.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $2$ ditambah $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- \frac{3}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Langkah 2.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + 1) \cdot 2$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

Langkah 2.4.2

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6.2.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6.2.3

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6.5

Kurangi $3 x$ dengan $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 2.6.6

Kurangi $3$ dengan $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai $a = 8$ , $b = 9$ , dan $c = 15$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6.1.2.2

Kalikan $- 32$ dengan $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6.1.3

Kurangi $480$ dengan $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali $- 399$ sebagai $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (399)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

Langkah 7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

Langkah 8

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 9

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

Langkah 10

Tentukan domain dari $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur penyebut dalam $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 (x + 1) = 0$

Langkah 10.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Bagi setiap suku pada $2 (x + 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (x + 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 10.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 10.2.1.2.1.2

Bagilah $x + 1$ dengan $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 10.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 10.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 10.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Langkah 11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 1$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$x < - 1$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1)$

Langkah 13