Kalkulus Contoh

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

Langkah 1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai eksponensiasi.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

Langkah 2

Substitusikan $u$ untuk $e^{x}$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

Langkah 3

Selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $u^{2} - 3 u + 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $2$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 2, - 1$

Langkah 3.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Langkah 3.3

Atur $u - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $u - 2$ sama dengan $0$ .

$u - 2 = 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 2$

Langkah 3.4

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $u - 1$ sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 2) (u - 1) = 0$ benar.

$u = 2, 1$

Langkah 4

Substitusikan $2$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

Langkah 5

Selesaikan $2 = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

Langkah 5.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Langkah 5.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Langkah 5.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Langkah 5.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (2)$

Langkah 6

Substitusikan $1$ untuk $u$ dalam $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

Langkah 7

Selesaikan $1 = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

Langkah 7.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Langkah 7.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Langkah 7.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Langkah 7.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (1)$

Langkah 7.4

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 8

Sebutkan penyelesaian yang membuat persamaannya benar.

$x = \ln (2), 0$

Langkah 9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

Langkah 10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Uji nilai pada interval $x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Pilih nilai pada interval $x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 2$

Langkah 10.1.2

Ganti $x$ dengan $- 2$ pada pertidaksamaan asal.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

Langkah 10.1.3

Sisi kiri $1.61230978$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 10.2

Uji nilai pada interval $0 < x < \ln (2)$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < \ln (2)$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0.35$

Langkah 10.2.2

Ganti $x$ dengan $0.35$ pada pertidaksamaan asal.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

Langkah 10.2.3

Sisi kiri $- 0.24344993$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 10.3

Uji nilai pada interval $x > \ln (2)$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pilih nilai pada interval $x > \ln (2)$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 10.3.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

Langkah 10.3.3

Sisi kiri $345.17218272$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 10.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < 0$ Salah

$0 < x < \ln (2)$ Benar

$x > \ln (2)$ Salah

$x < 0$ Salah

$0 < x < \ln (2)$ Benar

$x > \ln (2)$ Salah

Langkah 11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 < x < \ln (2)$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$0 < x < \ln (2)$

Notasi Interval:

$(0, \ln (2))$

Langkah 13