Kalkulus Contoh

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Langkah 1

Kurangkan $4 k$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Langkah 2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Langkah 3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $k$ dari $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $k$ dari $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $k$ dari $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $k$ dari $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $k$ dari $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Langkah 3.1.5

Faktorkan $k$ dari $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Langkah 3.2.1.1.2

Tulis kembali $- 5$ sebagai $3$ ditambah $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Langkah 3.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Langkah 3.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Langkah 3.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Langkah 5

Atur $k$ sama dengan $0$ .

$k = 0$

Langkah 6

Atur $2 k + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $2 k + 1$ sama dengan $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $2 k + 1 = 0$ untuk $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 k = - 1$

Langkah 6.2.2

Bagi setiap suku pada $2 k = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 k = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Bagilah $k$ dengan $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$k = - \frac{1}{2}$

Langkah 7

Atur $3 k - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $3 k - 4$ sama dengan $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan $3 k - 4 = 0$ untuk $k$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$3 k = 4$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $3 k = 4$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 k = 4$ dengan $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $k$ dengan $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ benar.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Langkah 9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Langkah 10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Uji nilai pada interval $k < - \frac{1}{2}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Pilih nilai pada interval $k < - \frac{1}{2}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$k = - 3$

Langkah 10.1.2

Ganti $k$ dengan $- 3$ pada pertidaksamaan asal.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Langkah 10.1.3

Sisi kiri $- 207$ lebih kecil dari sisi kanan $- 12$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 10.2

Uji nilai pada interval $- \frac{1}{2} < k < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Pilih nilai pada interval $- \frac{1}{2} < k < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$k = - 0.25$

Langkah 10.2.2

Ganti $k$ dengan $- 0.25$ pada pertidaksamaan asal.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Langkah 10.2.3

Sisi kiri $- 0.40625$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 10.3

Uji nilai pada interval $0 < k < \frac{4}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pilih nilai pada interval $0 < k < \frac{4}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$k = 1$

Langkah 10.3.2

Ganti $k$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Langkah 10.3.3

Sisi kiri $1$ lebih kecil dari sisi kanan $4$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 10.4

Uji nilai pada interval $k > \frac{4}{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Pilih nilai pada interval $k > \frac{4}{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$k = 4$

Langkah 10.4.2

Ganti $k$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Langkah 10.4.3

Sisi kiri $304$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $16$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 10.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$k < - \frac{1}{2}$ Benar

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Salah

$0 < k < \frac{4}{3}$ Benar

$k > \frac{4}{3}$ Salah

$k < - \frac{1}{2}$ Benar

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Salah

$0 < k < \frac{4}{3}$ Benar

$k > \frac{4}{3}$ Salah

Langkah 11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$k < - \frac{1}{2}$ atau $0 < k < \frac{4}{3}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Langkah 13