Kalkulus Contoh

$\frac{x^{4} - 3 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ dan $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 3 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 (2 x)) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 4.2

Faktorkan $x^{2} - 1$ dari ${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $x^{2} - 1$ dari ${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 4.2.2

Faktorkan $x^{2} - 1$ dari $- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 4.2.3

Faktorkan $x^{2} - 1$ dari $(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $x^{2} - 1$ dari ${(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 9.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 (x^{4} - 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 3 x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Perluas $(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.2.1.2.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.2.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{2} x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.2.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 (x \cdot x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.2.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 (x^{1} x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{1 + 2} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.5

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.1.6

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.2.2

Kurangi $4 x^{3}$ dengan $- 6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Kurangi $4 x^{5}$ dengan $4 x^{5}$ .

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 0 + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.2.2

Tambahkan $- 10 x^{3} + 6 x$ dan $0$ .

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.3.3

Tambahkan $- 10 x^{3}$ dan $12 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.4

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{3} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.4.2

Faktorkan $2 x$ dari $6 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.4.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Langkah 10.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{3}}$

Langkah 10.5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{3}}$

Langkah 10.5.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$