Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 4 x + 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $3$ dan jumlahnya $- 4$ .

$- 3, - 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 2.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 3, 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $3, 1$ .

$3, 1$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $9$ .

$f' (0) = 9$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $9$ .

$9$

Langkah 5.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $9$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(1, 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $24$ dengan $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 12$ dan $9$ .

$f' (2) = - 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 6.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(1, 3)$ .

Menurun pada $(1, 3)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $48$ dengan $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $9$ .

$f' (4) = 9$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $9$ .

$9$

Langkah 7.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $9$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(3, \infty)$ .

Meningkat pada $(3, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

Menurun pada: $(1, 3)$

Langkah 9