Kalkulus Contoh

$r (t) = (t + e^{t}) (4 - \sqrt{t})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(t + e^{t}) (4 - t^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t + e^{t}$ dan $g (t) = 4 - t^{\frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [4 - t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - t^{\frac{1}{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 3.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$(t + e^{t}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t^{\frac{1}{2}}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 8.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 8.2.2

Pindahkan $t^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Langkah 8.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + e^{t}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ adalah $a^{t} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$t (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.2

Pindahkan $t^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.3

Kalikan $t$ dengan $t^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Kalikan $t$ dengan $t^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.3.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.4

Gabungkan $e^{t}$ dan $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Langkah 10.2.5

Untuk menuliskan $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.2.6

Gabungkan $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + 2 (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$