Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$

Langkah 1

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{3}$ dan $g (t) = 1 + \cos^{2} (7 t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Langkah 3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ dan $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Langkah 3.2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Langkah 3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Langkah 3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Langkah 3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Langkah 3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \cos^{2} (7 t)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Langkah 3.4

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Langkah 3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = \cos (7 t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 \cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Langkah 5.2

Gabungkan $\cos (7 t)$ dan $\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (7 t) (2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Langkah 5.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (7 t)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Langkah 5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Langkah 5.4.2

Bagilah $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ dengan $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = 7 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [7 t])$

Langkah 6.2

Turunan dari $\cos (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $- \sin (u_{3})$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [7 t])$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t])$

Langkah 7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $7 t$ terhadap $t$ adalah $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t]))$

Langkah 7.2

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \cdot 1)$

Langkah 7.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$

Langkah 7.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$ .

$- 7 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cos (7 t) \sin (7 t)$