Kalkulus Contoh

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

Langkah 1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $\frac{c}{b - a}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ terhadap $t$ adalah $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{- a t} - e^{- b t}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = - a t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- a$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- a t$ terhadap $t$ adalah $- a \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- e^{- b t}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = - b t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- b$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- b t$ terhadap $t$ adalah $- b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

Langkah 5.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Langkah 5.2.2

Kalikan $e^{- b t}$ dengan $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

Langkah 5.4

Kalikan $b$ dengan $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ .

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Langkah 6.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Langkah 6.3

Kalikan $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ dengan $\frac{c}{b - a}$ .

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Langkah 6.4

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{- a t} a$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Langkah 6.5

Faktorkan $- 1$ dari $e^{- b t} b$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

Langkah 6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ .

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Langkah 6.7

Tulis kembali $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ sebagai $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ .

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Langkah 6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Langkah 6.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ .

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$