Kalkulus Contoh

$y = \frac{3 t - 7}{t^{2} + 5 t - 4}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = 3 t - 7$ dan $g (t) = t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \frac{d}{d t} [3 t - 7] - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t - 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.5

Karena $- 7$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 7$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + 0) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \cdot 3 - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 5 t - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.9

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5 t$ terhadap $t$ adalah $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.11

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.12

Karena $- 4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 4$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + 0)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 2.13

Tambahkan $2 t + 5$ dan $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t + 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.4

Perluas $(- 3 t + 7) (2 t + 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t + 5) + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5.1.2

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.5.1.2.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5.1.2.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5.1.4

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5.1.5

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5.1.6

Kalikan $7$ dengan $5$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5.2

Tambahkan $- 15 t$ dan $14 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Kurangi $6 t^{2}$ dengan $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 12 - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kurangi $t$ dengan $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t - 12 + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $- 12$ dan $35$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.5

Faktorkan $- 1$ dari $14 t$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - (- 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 t^{2}) - (- 14 t)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.7

Tulis kembali $23$ sebagai $- 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.9

Tulis kembali $- (3 t^{2} - 14 t - 23)$ sebagai $- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Langkah 3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 t^{2} - 14 t - 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$