Kalkulus Contoh

$e^{4 x} + e^{- x}$

Langkah 1

Tulis $e^{4 x} + e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{4 x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.2.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.2.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.1.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 2.1.1.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 2.1.1.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 e^{4 x} - e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 e^{4 x}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.5

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.6

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2.7

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.1.2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 2.1.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 2.1.2.3.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 2.1.2.3.7

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Langkah 2.1.2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Langkah 2.1.2.3.9

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Langkah 2.2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Grafiknya cekung ke atas karena turunan keduanya positif.

Grafik cekung ke atas

Langkah 5