Kalkulus Contoh

$y = \ln (3 t e^{- t})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \ln (t)$ dan $g (t) = 3 t e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 t e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 t e^{- t}$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t e^{- t}$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

Langkah 2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ .

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = - t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 5.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- t}$ sebagai $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

Langkah 5.5

Kalikan $e^{- t}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $t$ dan $\frac{1}{t e^{- t}}$ .

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $\frac{t}{t e^{- t}}$ dan $e^{- t}$ .

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Langkah 6.2.6

Gabungkan $\frac{1}{t e^{- t}}$ dan $e^{- t}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Langkah 6.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Langkah 6.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 + \frac{1}{t}$

Langkah 6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{t} - 1$