Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{3} - 9 x$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{3} - 9 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 x^{2} - 9 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 9$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x^{2} - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$18 x + 0$

Langkah 1.2.3.2

Tambahkan $18 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 18 x$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $18 x$ .

$18 x$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $18 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$18 x = 0$

Langkah 2.2

Bagi setiap suku pada $18 x = 0$ dengan $18$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah setiap suku di $18 x = 0$ dengan $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{18 x}{18} = \frac{0}{18}$

Langkah 2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{18}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $18$ .

$x = 0$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 3 x^{3} - 9 x$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 9 \cdot 0$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 9 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.1.3

Kalikan $- 9$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 3 x^{3} - 9 x$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = 18 (- 0.1)$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $18$ dengan $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.8$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 1.8$ .

$- 1.8$

Langkah 5.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 1.8$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 0)$

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 18 (0.1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $18$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 1.8$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1.8$ .

$1.8$

Langkah 6.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $1.8$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Langkah 8