Kalkulus Contoh

$f (t) = \frac{e^{5 t} + e^{- 5 t}}{e^{3 t}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = e^{5 t} + e^{- 5 t}$ dan $g (t) = e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{{(e^{3 t})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{3 t})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{3 t \cdot 2}}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{5 t} + e^{- 5 t}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]$ .

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 5 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5 t$ terhadap $t$ adalah $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \cdot 5 + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 4.3.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{3 t} (5 \cdot e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = - 5 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- 5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- 5 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 5 t$ terhadap $t$ adalah $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \cdot 1)) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \cdot - 5) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 6.3.2

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $e^{- 5 t}$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 \cdot e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 3 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $3 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Langkah 7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ adalah $a^{u_{3}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Langkah 7.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $3 t$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

Langkah 8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

Langkah 8.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

Langkah 8.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \cdot 1)}{e^{6 t}}$

Langkah 8.4

Kalikan $e^{3 t}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) + (- 3 e^{5 t} - 3 e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{5 e^{3 t} e^{5 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.2

Kalikan $e^{3 t}$ dengan $e^{5 t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1.2.1

Pindahkan $e^{5 t}$ .

$\frac{5 (e^{5 t} e^{3 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 e^{5 t + 3 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.2.3

Tambahkan $5 t$ dan $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{3 t} e^{- 5 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.4

Kalikan $e^{3 t}$ dengan $e^{- 5 t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1.4.1

Pindahkan $e^{- 5 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 (e^{- 5 t} e^{3 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 5 t + 3 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.4.3

Tambahkan $- 5 t$ dan $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.5

Kalikan $e^{5 t}$ dengan $e^{3 t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1.5.1

Pindahkan $e^{3 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 (e^{3 t} e^{5 t}) - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{3 t + 5 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.5.3

Tambahkan $3 t$ dan $5 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.6

Kalikan $e^{- 5 t}$ dengan $e^{3 t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1.6.1

Pindahkan $e^{3 t}$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 (e^{3 t} e^{- 5 t})}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{3 t - 5 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.1.6.3

Kurangi $5 t$ dengan $3 t$ .

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.2

Kurangi $3 e^{8 t}$ dengan $5 e^{8 t}$ .

$\frac{2 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.4.3

Kurangi $3 e^{- 2 t}$ dengan $- 5 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{8 t}$ .

$\frac{2 (e^{8 t}) - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

Langkah 9.5.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 8 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Langkah 9.5.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})$ .

$\frac{2 (e^{8 t} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Langkah 9.5.2

Tulis kembali $e^{8 t}$ sebagai ${(e^{4 t})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

Langkah 9.5.3

Tulis kembali $4 e^{- 2 t}$ sebagai ${(2 e^{- t})}^{2}$ .

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - {(2 e^{- t})}^{2})}{e^{6 t}}$

Langkah 9.5.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = e^{4 t}$ dan $b = 2 e^{- t}$ .

$\frac{2 ((e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - (2 e^{- t})))}{e^{6 t}}$

Langkah 9.5.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - 2 e^{- t})}{e^{6 t}}$