Kalkulus Contoh

$\frac{3 x - 1}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 x - 1$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 10.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Langkah 12

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Langkah 13

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Langkah 14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Langkah 15

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Langkah 15.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Langkah 16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Langkah 17

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Langkah 18

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.2

Kalikan $- 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1.2.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.4

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1.4.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.4.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.4.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.5

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.1.8

Kalikan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.2

Untuk menuliskan $3 x^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.3

Gabungkan $3 x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.5.1

Faktorkan $3 x^{\frac{1}{2}}$ dari $3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.5.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.5.1.2

Faktorkan $3 x^{\frac{1}{2}}$ dari $3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.5.1.3

Faktorkan $3 x^{\frac{1}{2}}$ dari $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.5.1.4

Faktorkan $3 x^{\frac{1}{2}}$ dari $3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2 - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.5.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.3.5.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.1

Kalikan $\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ dengan $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Langkah 19.4.2

Gabungkan.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.5

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.5.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.5.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{1} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.6

Sederhanakan $x^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.4.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \cdot 3 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.8

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 19.4.9

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 19.4.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 19.4.11

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 19.4.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 19.4.13

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$