Kalkulus Contoh

$\frac{\arcsin (2 x)}{x}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \arcsin (2 x)$ dan $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x)] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arcsin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arcsin (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x)$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1 - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 3.6

Kalikan $\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 4

Kalikan $\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot \frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} (\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \cdot 1)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x))}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x - \sqrt{1 - 4 x^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 8.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{2 x - \sqrt{1^{2} - 4 x^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 8.1.3

Tulis kembali $4 x^{2}$ sebagai ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{2 x - \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 8.1.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = 2 x$ .

$\frac{2 x - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 8.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

Langkah 8.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \arcsin (2 x) + 2 x}{x^{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}}}$