Kalkulus Contoh

$\frac{\ln (x)}{\ln (x + 1)}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 3

Gabungkan $\ln (x + 1)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 4

Kalikan $\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan.

$\frac{x (\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 6.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{x + 1}$ dan $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \frac{\ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 7.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\ln (x)}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 7.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 7.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + 0)}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 7.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \cdot 1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 7.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 8

Untuk menuliskan $\ln (x + 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 10

Tulis kembali $\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$ sebagai hasil kali.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1} \cdot \frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 11

Kalikan $\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x + 1) (x \ln^{2} (x + 1))}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.2.1.2

Kalikan $\ln (x + 1)$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x^{1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1 + 1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.3.5

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + x) \ln^{2} (x + 1)}$

Langkah 12.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x \ln (x + 1) - x \ln (x) + \ln (x + 1)}{\ln^{2} (x + 1) (x^{2} + x)}$