Kalkulus Contoh

$2 x \sin (x) \sqrt{3 x - 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 x - 1}$ sebagai ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x \sin (x)$ dan $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 3 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.2.2

Pindahkan ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \sin (x) \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.2.4

Gabungkan $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $\sin (x)$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.8.2

Gabungkan $\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $3$ .

$2 (\frac{x \sin (x) \cdot 3}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 8.8.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 \cdot (x \sin (x))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 10

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

Langkah 11.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)))$

Langkah 12

Untuk menuliskan ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 13

Gabungkan ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ dan $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{3 x \sin (x) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 16

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 16.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{1})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18

Sederhanakan.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x \cos (x) + \sin (x)$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + 2 \cdot (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Gabungkan $2$ dan $\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x \sin (x) + (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.1

Perluas $(2 x \cos (x) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x - 1) + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.2.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.1.2.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cdot x) \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x^{2} \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.2

Tambahkan $3 x \sin (x)$ dan $6 \sin (x) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.2.2.1

Pindahkan $\sin (x)$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23.2.2.2

Tambahkan $3 x \sin (x)$ dan $6 x \sin (x)$ .

$\frac{9 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$