Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{x - 4}$ sebagai ${(x - 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 4$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 1.1.3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2}$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Langkah 6.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (3) = - 1$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 6.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- 1$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 4)$ .

Menurun pada $(- \infty, 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Langkah 7.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Langkah 7.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

Langkah 7.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (5) = - 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 7.3

Pada $x = 5$ , turunannya adalah $- 1$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(4, \infty)$ .

Menurun pada $(4, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Langkah 9