Kalkulus Contoh

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

Langkah 1

Tulis $5 x^{4} + 20 x^{3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{4} + 20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $20$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $20 x^{3} + 60 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $60$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $60 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $60 x^{2} + 120 x$ .

$60 x^{2} + 120 x$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $60 x^{2} + 120 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$60 x^{2} + 120 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $60 x$ dari $60 x^{2} + 120 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $60 x$ dari $60 x^{2}$ .

$60 x (x) + 120 x = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $60 x$ dari $120 x$ .

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $60 x$ dari $60 x (x) + 60 x (2)$ .

$60 x (x + 2) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $60 x (x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $20$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 2$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $16$ .

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $20$ dengan $- 8$ .

$f (- 2) = 80 - 160$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $160$ dengan $80$ .

$f (- 2) = - 80$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 80$ .

$- 80$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 2$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ adalah $(- 2, - 80)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 2, - 80)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $60$ dengan $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $120$ dengan $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

Langkah 6.2.2

Kurangi $252$ dengan $264.6$ .

$f'' (- 2.1) = 12.6$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12.6$ .

$12.6$

Langkah 6.3

Pada $- 2.1$ , turunan keduanya adalah $12.6$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $60$ dengan $1$ .

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $120$ dengan $- 1$ .

$f'' (- 1) = 60 - 120$

Langkah 7.2.2

Kurangi $120$ dengan $60$ .

$f'' (- 1) = - 60$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 60$ .

$- 60$

Langkah 7.3

Pada $- 1$ , turunan kedua adalah $- 60$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 2, 0)$

Menurun pada $(- 2, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $60$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $120$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $0.6$ dan $12$ .

$f'' (0.1) = 12.6$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12.6$ .

$12.6$

Langkah 8.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $12.6$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 2, - 80), (0, 0)$ .

$(- 2, - 80), (0, 0)$

Langkah 10