Kalkulus Contoh

$\frac{x - 4}{x^{2} - 3 x - 4}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 4$ dan $g (x) = x^{2} - 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $x^{2} - 3 x - 4$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 3 x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.9

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.10

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 2.11

Tambahkan $2 x - 3$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x - - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x + 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2

Perluas $(- x + 4) (2 x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3.1.6

Kalikan $4$ dengan $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.1.3.2

Tambahkan $3 x$ dan $8 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 4 + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $- 3 x$ dan $11 x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x - 4 - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Kurangi $12$ dengan $- 4$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ dan yang jumlahnya adalah $b = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Faktorkan $8$ dari $8 x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali $8$ sebagai $4$ ditambah $4$

$\frac{- x^{2} + (4 + 4) x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x (- x + 4) - 4 (- x + 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 4, 1$

Langkah 3.4.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{((x - 4) (x + 1))}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x - 4) (x + 1)$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali $- (x - 4)$ sebagai $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5.5

Naikkan $x - 4$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} (x - 4))}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5.6

Naikkan $x - 4$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1})}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - 4)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$