Kalkulus Contoh

$x^{2} \arctan (e^{x})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \arctan (e^{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} e^{x} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) (2 x)$

Langkah 6

Untuk menuliskan $\arctan (e^{x}) (2 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{\arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 8.2.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 8.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 x e^{2 x} \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$

Langkah 8.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{x} x^{2} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 e^{2 x} x \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$