Kalkulus Contoh

$y = \frac{3 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{2} - 9 x + 11}{2 x + 4})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 x^{2} - 9 x + 11$ dan $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 9 x + 11] - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 9 x + 11$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.5

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 + \frac{d}{d x} [11]) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.8

Karena $11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9 + 0) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.9

Tambahkan $6 x - 9$ dan $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.11

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.13

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.14

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.15

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.15.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - (3 x^{2} - 9 x + 11) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2.15.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - 2 (3 x^{2} - 9 x + 11)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 4) (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Perluas $(2 x + 4) (6 x - 9)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x (6 x - 9) + 4 (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x - 9) - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{12 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.4

Kalikan $- 9$ dengan $2$ .

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 4 (6 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.5

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 24 x + 4 \cdot - 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $- 9$ .

$\frac{12 x^{2} - 18 x + 24 x - 36 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Tambahkan $- 18 x$ dan $24 x$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 2 (3 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $- 9$ dengan $- 2$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 11}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $11$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 x - 36 - 6 x^{2} + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.2

Kurangi $6 x^{2}$ dengan $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 x - 36 + 18 x - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $6 x$ dan $18 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x - 36 - 22}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.4

Kurangi $22$ dengan $- 36$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2} + 24 x - 58$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 24 x - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.2

Faktorkan $2$ dari $24 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (12 x) - 58}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 58$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (12 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.4

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x^{2}) + 2 (12 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.3.5

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x^{2} + 12 x) + 2 (- 29)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

Langkah 3.3.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.4.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.3.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Langkah 3.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 x^{2} + 12 x - 29)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Langkah 3.3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 12 x - 29}{2 {(x + 2)}^{2}}$