Kalkulus Contoh

$f (x) = {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \frac{x - 4}{x + 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x + 2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 4$ dan $g (x) = x + 2$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{(x + 2) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $x + 2$ dengan $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2} \frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 3.8.3

Gabungkan $\frac{x + 2 - (x - 4)}{{(x + 2)}^{2}}$ dan $3$ .

$\frac{(x + 2 - (x - 4)) \cdot 3}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Langkah 3.8.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x + 2 - (x - 4)$ .

$\frac{3 \cdot (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} {(\frac{x - 4}{x + 2})}^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x - 4}{x + 2}$ .

$\frac{3 (x + 2 - (x - 4))}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (x + 2 - x - - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3 x + 6 + 3 (- x) + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 (- - 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.4

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{3 x + 6 - 3 x + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.5

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

$\frac{0 + 6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.6

Tambahkan $0$ dan $6$ .

$\frac{6 + 12}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.7

Tambahkan $6$ dan $12$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.8

Kalikan $\frac{18}{{(x + 2)}^{2}}$ dengan $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.9

Kalikan ${(x + 2)}^{2}$ dengan ${(x + 2)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.9.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2 + 2}}$

Langkah 4.4.9.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{18 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{4}}$